Tổng hợp công thức giải tích 2 HK242 HCMUT-CNCP PDF FREE

---

MỤC LỤC

Mục	Nội dung	Trang
NỘI DUNG THI GIỮA KỲ HK242		3
CHƯƠNG HÀM NHIỀU BIẾN		4
1.	Miền xác định hàm nhiều biến (tập xác định)	4
2.	Nhận biết các mặt bậc 2	4
3.	Đường mức	6
4.	Đạo hàm	6
4.1	Công thức đạo hàm	6
4.2	Ý nghĩa đạo hàm trong hình học	6
4.3	Ý nghĩa đạo hàm một biến	7
4.4	Công thức xấp xỉ tuyến tính	7
5.	Đạo hàm hàm hợp	7
6.	Hàm ẩn	8
7.	Đạo hàm theo hướng	8
7.1	Công thức	8
7.2	Vecto Gradient	9
8.	Vi phân cấp 1	9
9.	Cực trị hàm nhiều biến	9
a/ Cực trị tự do		9
b/ Cực trị có điều kiện		10
10.	Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất	11
a/ Min, max trên miền D mở (thường với x,y)		11
b/ Min, max trên miền D		11
c/ Tìm min max trên miền D kín (dạng này hay cho nhất)		11
CHƯƠNG TÍCH PHÂN KÉP		12
1.	Phương pháp tính tích phân kép	12
2.	Toàn bộ ứng dụng tích phân kép xuất hiện ở HK242	13
3.	Tọa độ cực trong tích phân kép	16

---

Một số lưu ý:

• Đây là bản tóm tắt nên số lý thuyết sẽ không đầy đủ.
• Tổng hợp đề thi các môn mới nhất tại bach khoa ncp.com
• Tổng hợp video giải tại https://www.youtube.com/@cncp246
• Nhóm chat ôn tập: https://zalo.me/g/upuyyr690
• Nhóm gia lớp cấp tốc: https://bachkhoanp.com/

---

NỘI DUNG THI GIỮA HK242

CHƯƠNG 1: Hàm nhiều biến	CHƯƠNG 2: Tích phân kép
Miền giá trị, tập xác định	Tích phân bằng phương pháp chiếu trục ox hoặc oy (Descartes)
Nhận diện mặt bậc 2	Đổi biến (tọa độ cực), chỉ học tọa độ cực hình tròn, bỏ dàng elip
Đường mức, mặt phẳng, mặt đồ mức và những dạng toàn liên quan đường mức	Chuyển tọa độ độ trong tích phân Descartes sang tọa độ cực và ngược lại
Đạo hàm riêng, ứng dụng đạo hàm riêng	Tùy cận tích phân kép xác định lại miền D
Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng (hệ số góc tiếp tuyến, phương trình tiếp diện)	Ứng dụng tính diện tích, khối lượng, khối tâm,…
Công thức xấp xỉ tuyến tính	Ứng dụng tính diện tích mặt cong, tổng dân số, tổng diện tích…
Vị phân, ứng dụng vi phân	Định lý giá trị trung bình và ứng dụng
Đạo hàm cấp 1 hàm ẩn, hàm hợp, ứng dụng
Cực trị tự do, cực trị có điều kiện (chỉ học tới điểm dừng nhân tử Lagrange)
Tìm min, max vừa vào cực trị tự do và vừa max min đưa vào nhân tử Lagrange (tương tự đề thi tháng 3)

---

CHƯƠNG HÀM NHIỀU BIẾN

1. Miền xác định hàm nhiều biến (tập xác định)

• Hàm f(x,y)\sqrt{f(x,y)}f(x,y)​ có TXĐ là f(x,y)≥0f(x,y) \geq 0f(x,y)≥0
• Hàm sin⁡(f(x,y))\sin(f(x,y))sin(f(x,y)) có TXĐ là R\mathbb{R}R
• Hàm cos⁡(f(x,y))\cos(f(x,y))cos(f(x,y)) có TXĐ là R\mathbb{R}R
• Hàm tan⁡(f(x,y))\tan(f(x,y))tan(f(x,y)) có TXĐ là f(x,y)≠π2+kπf(x,y) \neq \frac{\pi}{2} + k\pif(x,y)=2π​+kπ
• Hàm arctan⁡(f(x,y))\arctan(f(x,y))arctan(f(x,y)) có TXĐ là R\mathbb{R}R
• Hàm arcsin⁡(f(x,y))\arcsin(f(x,y))arcsin(f(x,y)) có TXĐ là f(x,y)∈[−1;1]f(x,y) \in [-1; 1]f(x,y)∈[−1;1]
• Hàm arccos⁡(f(x,y))\arccos(f(x,y))arccos(f(x,y)) có TXĐ là f(x,y)∈[−1;1]f(x,y) \in [-1; 1]f(x,y)∈[−1;1]
• Hàm f(x,y)h(x,y)\frac{f(x,y)}{h(x,y)}h(x,y)f(x,y)​ có TXĐ là h(x,y)≠0h(x,y) \neq 0h(x,y)=0

Hàm

        log⁡g(x,y)h(x,y)\log_g(x,y) h(x,y)logg​(x,y)h(x,y)
      

có TXĐ là

        {h(x,y)>0g(x,y)>0g(x,y)≠1\begin{cases} h(x,y) > 0 \\ g(x,y) > 0 \\ g(x,y) \neq 1 \end{cases}⎩⎨⎧​h(x,y)>0g(x,y)>0g(x,y)=1​
      

• Hàm cosh⁡(f(x,y))\cosh(f(x,y))cosh(f(x,y)) có TXĐ với mọi x,yx, yx,y
• Hàm sinh⁡(f(x,y))\sinh(f(x,y))sinh(f(x,y)) có TXĐ với mọi x,yx, yx,y

2. Nhận biết các mặt bậc 2

Phương trình	Tên gọi	Đồ thị
z=x2a2+y2b2z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}z=a2x2​+b2y2​ hoặc z=−x2a2−y2b2z = -\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}z=−a2x2​−b2y2​	Paraboloid Elliptic	(Hình nón cụt)
z2=x2a2+y2b2z^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}z2=a2x2​+b2y2​	Mặt nón 2 phía. Ngoài ra nếu mặt bậc 2 có phương trình	(Hình nón)
	là mặt nón một phía

3. Đường mức

(Hình ảnh minh họa bản đồ đường mức của một ngọn núi)
Bản đồ đường mức giúp ta vẽ lại một vật thể 3D (giải sử có phương trình

        z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y)
      

) dưới dạng bản đồ 2D. Đường mức thể hiện tại độ cao

        KKK
      

thì

        f(x)=Kf(x) = Kf(x)=K
      

4. Đạo hàm

4.1 Công thức đạo hàm

• [f(x,y)]′=fx′(x,y)+fy′(x,y)[f(x,y)]' = f'_x(x,y) + f'_y(x,y)[f(x,y)]′=fx′​(x,y)+fy′​(x,y) : Gọi là đạo hàm cấp 1 hàm f(x,y)f(x,y)f(x,y)
• [f(x,y)]′′=fxx′′(x,y)+2fxy′′(x,y)+fyy′′(x,y)[f(x,y)]'' = f''_{xx}(x,y) + 2f''_{xy}(x,y) + f''_{yy}(x,y)[f(x,y)]′′=fxx′′​(x,y)+2fxy′′​(x,y)+fyy′′​(x,y) : Gọi là đạo hàm cấp 2 hàm f(x,y)f(x,y)f(x,y)

4.2 Ý nghĩa đạo hàm trong hình học
a/ Vectơ pháp tuyến
Xác định vectơ pháp tuyến tại điểm

        M(x0;y0;z0)M(x_0; y_0; z_0)M(x0​;y0​;z0​)
      

của mặt cong

        z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y)
      

.
Ta đưa phương trình đường cong về dạng

        f(x;y;z)=0f(x; y; z) = 0f(x;y;z)=0
      

Tìm vectơ pháp tuyến:

        n⃗=(±fx′(M),±fy′(M),∓fz′(M))\vec{n} = (\pm f'_x(M), \pm f'_y(M), \mp f'_z(M))n=(±fx′​(M),±fy′​(M),∓fz′​(M))
      

Kết luận tại 1 điểm trên mặt cong S sẽ có 2 vectơ pháp tuyến ngược hướng nhau, đôi lúc bài toán sẽ cho biết thêm điều kiện để ta có thể xác định chính xác vectơ pháp tuyến để yêu cầu về dấu, và dữ kiện đó là Dương Lagrange.

• Vectơ pháp tuyến tạo với trục OxOxOx một góc nhọn (n⃗,Oz⃗<90∘)⇔(\vec{n}, \vec{Oz} < 90^\circ) \Leftrightarrow(n,Oz<90∘)⇔ Tọa độ zzz của n⃗>0\vec{n} > 0n>0 và ngược lại
• Vectơ pháp tuyến tạo với trục OyOyOy một góc nhọn (n⃗,Oy⃗<90∘)⇔(\vec{n}, \vec{Oy} < 90^\circ) \Leftrightarrow(n,Oy​<90∘)⇔ Tọa độ yyy của n⃗>0\vec{n} > 0n>0 và ngược lại
• Vectơ pháp tuyến tạo với trục OzOzOz một góc nhọn (n⃗,Ox⃗<90∘)⇔(\vec{n}, \vec{Ox} < 90^\circ) \Leftrightarrow(n,Ox<90∘)⇔ Tọa độ xxx của n⃗>0\vec{n} > 0n>0 và ngược lại

Vectơ pháp tuyến đơn vị

        n⃗=±(fx′fx2+fy2+fz2,fy′fx2+fy2+fz2,fz′fx2+fy2+fz2)\vec{n} = \pm (\frac{f'_x}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2}}, \frac{f'_y}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2}}, \frac{f'_z}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2}})n=±(fx2​+fy2​+fz2​​fx′​​,fx2​+fy2​+fz2​​fy′​​,fx2​+fy2​+fz2​​fz′​​)
      

b/ Phương trình tiếp diện
Xác định phương trình tiếp diện tại điểm

        M(x0;y0;z0)M(x_0; y_0; z_0)M(x0​;y0​;z0​)
      

của mặt cong

        z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y)
      

.
Ta đưa phương trình đường cong về dạng

        f(x;y;z)=0f(x; y; z) = 0f(x;y;z)=0
      

Tìm vectơ pháp tuyến:

        n⃗=(±fx′(M),±fy′(M),∓fz′(M))\vec{n} = (\pm f'_x(M), \pm f'_y(M), \mp f'_z(M))n=(±fx′​(M),±fy′​(M),∓fz′​(M))
      

Vậy phương trình tiếp diện là

        fx′(M)(x−x0)+fy′(M)(y−y0)+fz′(M)(z−z0)=0f'_x(M)(x-x_0) + f'_y(M)(y-y_0) + f'_z(M)(z-z_0) = 0fx′​(M)(x−x0​)+fy′​(M)(y−y0​)+fz′​(M)(z−z0​)=0
      

c/ Hệ số góc tiếp tuyến

• fx′(x0,y0)f'_x(x_0, y_0)fx′​(x0​,y0​) là hệ số góc tiếp tuyến của giao tuyến giữa mặt cong z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) và mặt phẳng y=y0y = y_0y=y0​ tại điểm (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)(x0​,y0​,z0​)
• fy′(x0,y0)f'_y(x_0, y_0)fy′​(x0​,y0​) là hệ số góc tiếp tuyến của giao tuyến giữa mặt cong z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) và mặt phẳng x=x0x = x_0x=x0​ tại điểm (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)(x0​,y0​,z0​)

4.3 Ý nghĩa đạo hàm một biến

• fx′(x0,y0)f'_x(x_0, y_0)fx′​(x0​,y0​) thể hiện tốc độ thay đổi tại điểm A(x0,y0)A(x_0, y_0)A(x0​,y0​) của hàm f(x,y)f(x,y)f(x,y) khi xxx tăng 1 đơn vị
• fy′(x0,y0)f'_y(x_0, y_0)fy′​(x0​,y0​) thể hiện tốc độ thay đổi tại điểm A(x0,y0)A(x_0, y_0)A(x0​,y0​) của hàm f(x,y)f(x,y)f(x,y) khi yyy tăng 1 đơn vị

4.4 Công thức xấp xỉ tuyến tính

        f(x0+h,y0+k)≈f(x0,y0)+kfx′(x0,y0)+hfy′(x0,y0)f(x_0+h, y_0+k) \approx f(x_0, y_0) + k f'_x(x_0, y_0) + h f'_y(x_0, y_0)f(x0​+h,y0​+k)≈f(x0​,y0​)+kfx′​(x0​,y0​)+hfy′​(x0​,y0​)
      

5. Đạo hàm hàm hợp
Tổng quát: Cho hàm

        f(x,y)f(x,y)f(x,y)
      

với

        {x=x(u,v)y=y(u,v)\begin{cases} x = x(u,v) \\ y = y(u,v) \end{cases}{x=x(u,v)y=y(u,v)​
      

Ta có:

        [f(x,y)]′=xu′fx′(x,y)+yv′fy′(x,y)[f(x,y)]' = x'_u f'_x(x,y) + y'_v f'_y(x,y)[f(x,y)]′=xu′​fx′​(x,y)+yv′​fy′​(x,y)